بررسی رفتار سازه بعد از ناپایداری و پدیده آشفتگی (chaos)

یکی از مباحث جدید مطرح شده در علم ریاضیات، آشفتگی (chaos) است. این موضوع در محدوده دینامیک غیرخطی مورد بررسی قرار می*گیرد. در دینامیک غیرخطی در صورتی که دو نقطه شروع مجاور داشته باشیم بعد از مدتی رفتار هر کدام از دو مسیر با یکدیگر متفاوت خواهد بود و نسبت به هم واگرا می*شوند. در صورتی که اگر ما همین مساله را بصورت خطی در نظر می*گرفتیم.
. این دو مسیر با همان اختلاف کم اولیه ادامه پیدا می کردند. در واقع اگر در یک سیستم غیرخطی نمودار رفتار شتاب - تغییر مکان که تحت عنوان phase space معرفی می*شود را رسم کنیم و مورد ارزیابی قرار دهیم، امکان مشاهده رفتار آشفته برای ما میسر خواهد بود. شاید یکی از ساده*ترین جاهایی که در آن می*توان بحث آشفتگی را شناخت، در حل معادله x2 + x (1 / 1) 0 با استفاده از روش عددی نقطه ثابت باشد در واقع در حل این معادله از نگاشت (mapping) استفاده می*شود پاسخ*هایی که از حل عددی این معادله بدست می*آید برای مقادیر نزدیک به 4 رفتار آشفته از خود نشان می*دهد. لذا یکی از مباحث مهم در طرح بحث آشفتگی نگاشت*های poincare است که در آن بحث آشفتگی را در رفتارهای انشعابی (bifurcation) نشان می*دهد. در این نگاشت*ها ما با نقاط جاذب و دافع مواجه می شویم که شباهت بسیاری با جاذب*ها و دافع*های موجود در phase space در سیستم*های دینامیکی دارند. لذا در طرح بحث آشفتگی بحث phase spaceها یا فضای نمود و نیز نگاشت Poinare اهمیت فراوانی دارند. یکی از جاهایی که بحث آشفتگی مشاهده می*شود در رفتارهای کمانشی پوسته*ها و نیز تیرها است. در واقع آشفتگی استاتیکی نسبت به پارامتر مکانی و آشفتگی دینامیکی نسبت به پارامتر زمانی طرح می*شود. از آنجایی که باید در این بحث نسبت به مباحث رفتار بعد از کمانش سازه (postbukling) آگاهی داشت. طرح مباحث فوق صورت گرفته است و منحنی*های انشعابی در مورد پوسته*ها و تیرها بدست آمده است. این بررسی به دو صورت انجام شده است اولا بررسی رفتارهای کلی سازه با استفاده از نگاشت poincare و ثانیا بررسی رفتار با استفاده از مباحث انرژی پتانسیل که در حالت وسیع*تر به تیوری کتستروفی ارتباط پیدا می*کند. بحث کتستروفی در سیستم*های gradient مطرح ات یعنی سیسم*هایی که معادلات حاکمش از یک پتانسیل (انرژی پتانسیل کار) قابل بدست آوردن است. تیوری کتستروفی می*گوید: در یک سیستم که بر آن یک تابع هموار (smooth) با حداکثر چهار پارامتر (بارگذاری یا نقص سازه*ای) حاکم است، بصورت پایه تنها هفت نوع هندسی محلی، یکتایی*های پایدار وجود دارد که به آنها مجموعه*های کتستروفی گفته می*شود. این هفت نوع مورد بحث قرار گرفته و اشکال آنها رسم شده است. بعد از یافتن معادلات حاکم بر سازه در حالت کمانش دینامیکی و استاتیکی، در حل این معادلات از روش Perturbation استفاده می*کنیم و مشاهده می*شود که نتایج دقیقا با نتایج بدست آمده از روش انرژی پتانسیل کل مطابقت دارد. در مرحله بعد با استفاده از روش مقیاس*های متعدد (multiple scales) فضای آهسته S و یا زمان آهسته را تعریف می*کنیم. در بحث آشفتگی استاتیکی این فضای آهسته S، نقش متغیر زمان در مسایل دینامیکی را ایفا می*کند و همانگونه که ما phase spaceها یعنی منحنی*های x-x را در دینامیک با توجه به متغیر زمان داشتیم، در اینجا هم x با توجه به فضای آهسته S تعریف می*شود که خود یک پارامتر مکانی است. با توجه به phase spaceهای یک آونگ تحت نیرو و مشاهده نقاط هموکلینیک، هتروکلینیک و حلقه*های جداساز separatrix)) و نیز مقایسه phase space تعریف شده در این پوسته با phase space مشاهده شده در رفتار آشفته آونگ به این نتیجه می*رسیم که در واقع در فضای نمود مربوط به پوسته یک حلقه جداساز وجود دارد که بیانگر حساسیت بسیار زیاد نسبت به شرایط اولیه و نیز رفتار آشفته در یک پوسته است. در واقع در اینجا ما با حل*های سولیتونی شکل مواجه می*شویم که شکل خاص خود را دارند و خصوصیات امواج سولیتونی را دارا هستند. نکته جالب در اینجا است که این امواج سولیتونی شکل در رفتار بعد از کمانش تیر الاستیک دو سر مفصل هم مشاهده می*شوند.